Résolution de l'équation du troisième degré. Démonstration.
Dans la démonstration qui suit, on ne travaillera que dans les nombres réels; excepté lors de la détermination des deux racines complexes lorsque le réalisant est positif. Cette contrainte de rester dans les nombres réels peut allonger certaines parties (comme la détermination de la racine double dans le cas où le réalisant est nul), mais rend la démonstration d'autant plus rigoureuse.
Soit à résoudre l'équation
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(1) |
Divisons par a qui est non nul
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(2) |
Posons
.
(3)
En remplaçant x dans (2) et en développant
Posons
On a donc la nouvelle équation sans terme en X2.
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(4) |
Posons X=u+v. On peut réécrire (4) en
La dernière expression s'annule lorsque
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(5) |
on peut élever la première au cube (comme nous sommes dans les réels - voir remarque en haut de la page - la racine cubique étant unique cela ne pose pas de problèmes, si on était dans les complexes il faudrait prendre plus de précautions car la racine cubique n'est plus unique).
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(5b) |
Ou bien en posant U=u3 et V=v3,
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(6) |
Pour résoudre ce système, on pose
On a trois cas.
A) Δ=0.
Dans ce cas
Mais comme Δ=0, cela implique que p soit négatif car
De plus l'égalité précédente permet aussi d'écrire
Et donc d'avoir
On a donc trouvé une des solutions de l'équation.
Cherchons les éventuelles autres solutions.
Comme nous avons une des racines on peut diviser le polynôme (4) par
X-X1, en remarquant que 9q2/p2=-4p/3
(en effet Δ=0, donc q2=-4p3/27)
On effectue la division
On trouve donc que
résolvons l'équation du second degré, son réalisant est
.
La racine double de cette équation est
.
On a donc trouvé les racines de (6) (une simple et une double) qui sont
Et enfin les solutions de (1) en utilisant la formule (3).
(Bien sûr en passant par les complexes on peut être plus concis)
B) Δ>0.
Prenons une des deux solutions possibles du système (6) (voir ici)
En prenant la racine cubique unique, on trouve la fameuse formule dites de Cardan.
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(7) |
Il reste à trouver les deux autres racines éventuelles.
De (5), on peut écrire le polynôme (4) sous la forme
Dont une racine est u+v. Faisons la division par X-(u+v).
Donc
Il reste à résoudre l'équation du second degré.
Remarquons d'abord que
Ce qui permet de réécrire l'équation sous la forme
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(8) |
Le réalisant de cette équation est
qui est négatif, donc l'équation (4) n'admet pas d'autres racines réelles que (7), mais toutefois elle possède deux racines complexes qui sont solution de (8) et qui valent
Finalement en remplaçant les valeurs de u et
v par les formules (7) en utilisant
On trouve
Les racines de (1) sont calculées en utilisant la relation (3).
N.B.: Et nous n'avons eu besoin des nombres complexes que pour exprimer les valeurs finales...
C) Δ<0.
Malheureusement, dans ce cas, c'est nettement plus compliqué si l'on s'impose de ne pas passer par les complexes.
Nous allons utiliser la trigonométrie pour résoudre l'équation (4).
Mais il fait d'abord démontrer deux petits lemmes
Lemme 1.
Si Δ<0, alors p<0.
En effet
c.q.f.d
Lemme 2.
Si Δ<0, alors
.
En effet,
c.q.f.d
En trigonométrie on a la formule:
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(9) |
(Comme c'est généralement le cas dans les cours de trigonométrie
élémentaire, vous n'avez vu que les formules cos(a+b), cos(2a), cos2a+sin2a=1,
mais pas cos(3a) - sauf en exercice -
Voilà comment vous pouvez montrer cette formule:
)
De (9) on a la formule
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(10) |
Introduisons deux nouvelles inconnues A et θ en posant
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(11) |
Et remplaçons dans (4), on trouve
En utilisant (10)
Pour trouver A et θ, on peut imposer que dans l'expression précédente on ait
Ce qui résoudrait l'équation (4).
Comme le lemme 1 nous dit que p<0, On calcule
Grâce au lemme 2, on sait que l'angle θ existe si Δ<0.
L'angle θ peut avoir une infinité de valeurs, car en trigonométrie on a
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(12) |
et donc
posons
la détermination principale de l'arc cosinus (c'est-à-dire φ compris entre 0 et π)
De (11) on déduit la formule générale de toutes les racines X de l'équation (4), soit
Mais de (12), on voit qu'il n'y a que trois valeurs possibles qui sont
Ce sont donc les 3 racines réelles de l'équation (4).
De la relation (3), on trouve les racines de (1).
Même démonstration en passant par les nombres complexes.
Si on travaille dans les complexes, le système (5b) admet 9 solutions distinctes, car tout nombre possède trois racines cubiques.
Si U=u3, et V=v3 alors u et v auront chacun trois valeurs possibles
où j et j2 sont les racine cubiques complexes de l'unité.
Ce qui donne 9 solutions possibles pour le système (5b).
Pour lever l'ambiguïté on utilisera la première équation du système (5).
Voyons les trois cas possibles suivant le signe de Δ.
A) Δ=0.
Dans ce cas
Dont les 3 racines cubiques sont
A partir de la première équation de (5), on a les trois valeurs correspondantes de v.
Or de Δ=0, on a
En remplaçant dans les expressions précédentes
Et de là on trouve les 3 racines de (4)
B) Δ>0.
Dans ce cas on prend pour u1 la racine cubique réelle du nombre U, et pour v1 la racine cubique réelle de V.
Sachant que le produit uv doit être réel et que j et j2 sont les racines cubiques de 1, on peut donc prendre comme solutions de (5).
Et on en déduit les 3 racines de (4)
C) Δ<0.
Dans ce cas U s'écrit
Ce qui donne sous forme trigonométrique
Les trois racines cubiques de U sont
De (5) on a les valeurs correspondantes de v.
De Xi=ui+vi, on trouve les racines de (4)
où
Dernière mise à jour, le 29 Janvier 2007