Racine quelconque ou n^ième

Racine n^ième entière d'un nombre entier.

Si n est divisible en deux nombres plus petit p et q, soit n = p x q, il est plus simple d'extraire la racine p^ième puis la racine q^ième que d'extraire directement la racine n^ième. L'ordre d'extraction est indifférent. En effet (la formule reste valable même pour des racines entières ou approchées, mais la démonstration sort du cadre de cet exposé).

Le calcul du reste devient néanmoins extrêmement plus compliqué.

Ex. : pour calculer la racine quatrième de 45748, il est plus simple d'extraire deux racines carrées. La racine carrée de 45748 est 213, la racine carrée de 213 est 14.
14 est bien la racine quatrième de 45748, car 14⁴ = 38416 < 45748 < 50625 = 15⁴.

Le nombre a n chiffres ou moins.

La racine n^ième du nombre est alors le plus grand chiffre dont la puissance n^ième est inférieure ou égale au nombre donné. Le reste est la différence du nombre donné et de la puissance n^ième de la racine trouvée.

Ex. : Soit à trouver la racine huitième de 4571421, le plus grand chiffre dont la huitième puissance est inférieure ou égale au nombre donné est 6, car 6⁸ = 1679616, alors que 7⁸ = 5764801 est plus grand que le nombre donné.
Donc 6 est la racine huitième de 4571421, le reste est 4571421 - 1679616, soit 2891805 (càd 4571421 = 7⁸ + 2891805).

Table des puissances:

Le nombre a plus de n chiffres.

•  On partage ce nombre en tranches de n chiffres, à partir des unités ; la dernière tranche à gauche peut avoir moins de n chiffres.
•  On écrit à la racine le chiffre qui est la racine n^ième de la tranche de gauche et on soustrait la n^ième puissance de ce chiffre de la tranche de gauche.
•  À la droite du reste, on écrit la tranche suivante, dont on sépare n - 1 chiffres à droites ; la partie de gauche forme un dividende, et l'on prend pour diviseur n fois la puissance (n - 1) du nombre déjà écrit à la racine.
•  Le quotient est le chiffre suivant de la racine ou un chiffre trop grand ; on l'essaye en retranchant du nombre formé par le dividende et les chiffres séparés, la somme des n autres parties de la n^ième puissance totale ; si la soustraction est possible, le chiffre essayé est exact ; sinon on le diminue successivement d'une unité, jusqu'à ce qu'on arrive à une soustraction possible.
•  On répète les deux dernières opérations jusqu'à ce qu'on ait obtenu à la racine tous les chiffres cherchés.

Les expressions à utiliser pour le quatrième point ci-dessus sont les suivantes :

Inutile de retenir toutes les formules, il suffit de se rappeler de la formule de la puissance n^ième d'un binôme :

Et dans notre cas particulier :

Les coefficients Cⁱ_n peuvent être retrouvés en utilisant le bon vieux triangle de Blaise Pascal (Triangle qui était déjà connu des chinois) :

Le premier et dernier élément de chaque ligne vaut 1. Les autres sont la somme des deux cases se trouvant juste au-dessus.

Ex. : extraire la racine cinquième de 42547012496531452 (quarante-deux mille cinq cent quarante-sept billions douze milliards quatre cent quatre-vingt-seize millions cinq cent trente et un mille quatre cent cinquante-deux).

•  On décompose le nombre en tranches de 5 chiffres.
•  On prend la racine cinquième de la première tranche, soit 2.
•  On écrit deux à la racine, on soustrait la cinquième puissance de 2 de la première tranche. 41 - 32 = 10.
•  On abaisse la tranche suivante, on isole les 4 chiffres de droite.
•  On prend comme diviseur 5 fois la quatrième puissance de la racine déjà connue, soit 5 x 2⁴ = 80.
•  On regarde combien font la partie de gauche du reste (105) pas ce nombre, soit 105 / 80 = 1.
•  On essaye le chiffre 1 en calculant (50000 x 2⁴ + 10000 x 2³ x 1 + 1000 x 2² x 1² + 50 x 2 x 1³ + 1⁴) x 1 = 884101.
•  On peut soustraire ce nombre du reste, 1054701 - 884101 = 170600, donc 1 est le chiffre suivant de la racine, on l'écrit.

•  etc...

Et après de fastidieux efforts on trouve la racine cinquième entière 2117.

 
Dernière mise à jour, le 29 Janvier 2007