Pratique de la racine cubique

Racine cubique entière d'un nombre entier.

Le nombre a trois chiffres ou moins.

La racine cubique du nombre est alors le plus grand chiffre dont le cube est inférieur ou égal au nombre donné. Le reste est la différence du nombre donné et du cube de la racine trouvée.

Ex. : Soit à trouver la racine cubique de 458, le plus grand chiffre dont le cube est inférieur ou égal au nombre donné est 7, car 7 x 7 x 7 = 343, alors que 6 x 6 x 6 = 216.
Donc 7 est la racine cubique de 458, le reste est 458 - 343, soit 115 (càd 458 = 7³ + 115).

Table des cubes:

Le nombre a plus de trois chiffres.

•  On partage ce nombre en tranches de trois chiffres, à partir des unités ; la dernière tranche à gauche peut n'avoir qu'un ou deux chiffres.
•  On écrit à la racine le chiffre qui est la racine cubique de la tranche de gauche et on soustrait le cube de ce chiffre de la tranche de gauche.
•  À la droite du reste, on écrit la tranche suivante, dont on sépare deux chiffres à droites ; la partie de gauche forme un dividende, et l'on prend pour diviseur trois fois le carré du nombre déjà écrit à la racine.
•  Le quotient est le chiffre suivant de la racine ou un chiffre trop grand ; on l'essaye en retranchant du nombre formé par le dividende et les chiffres séparés, la somme des trois autres parties du cube total (soit trois cents fois le carré du nombre écrit à la racine plus trente fois le nombre écrit à la racine multiplié par le chiffre à essayer plus le carré du même chiffre, le tout multiplié par ce même chiffre); si la soustraction est possible, le chiffre essayé est exact ; sinon on le diminue successivement d'une unité, jusqu'à ce qu'on arrive à une soustraction possible.
•  On répète les deux dernières opérations jusqu'à ce qu'on ait obtenu à la racine tous les chiffres cherchés.

L'expression compliquée du quatrième point ci-dessus peut être retrouvée comme suit:

On calcule l'expression (10d+u)³ - (10d)³, (d exprime les dizaines ou le nombre déjà écrit à la racine, u est l'unité ou le chiffre à essayer). Ce qui donne :

Ex. : Extraire la racine cubique de 548312678104 (cinq cent quarante-huit milliards trois cent douze millions six cent soixante-dix-huit mille cent quatre ou cinq cent quarante-huit milliards trois cent douze millions six cent septante-huit mille cent quatre).

•  On partage le nombre en tranche de 3 chiffres à partir des unités.
•  On écrit à la racine le chiffre qui est la racine cubique de la tranche de gauche, soit 8. on soustrait le cube de ce chiffre de la tranche de gauche, soit 548 - 512 = 36.
•  À la droite du reste on écrit la tranche suivante, dont on sépare deux chiffres à droite. (363 et 12)

•  On prend pour diviseur trois fois le carré de la racine déjà trouvée, soit 3 x 8² = 192.
•  Le quotient (363 / 192 = 1) est le chiffre suivant de la racine. On l'essaye en vérifiant si 300 fois le carré de la racine plus 30 fois le produit de la racine trouvée par le chiffre à essayer plus le carré du celui-ci, le tout multiplié par le chiffre essayé peut être soustrait du reste. (300 x 8² + 30 x 8 x 1 + 1²) x 1 = 19441. On soustrait ce nombre du reste : 36312 - 19441 = 16871.
•  On abaisse la tranche suivante, dont on sépare deux chiffres à droite.

•  On prend pour diviseur trois fois le carré de la racine déjà trouvée, soit 3 x 81² = 19683.
•  Le quotient (168716 / 19683 = 8) est le chiffre suivant de la racine. On l'essaye en vérifiant si 300 fois le carré de la racine plus 30 fois le produit de la racine trouvée par le chiffre à essayer plus le carré du celui-ci, le tout multiplié par le chiffre essayé peut être soustrait du reste. (300 x 81² + 30 x 81 x 8 + 8²) x 8 = 15902432. On soustrait ce nombre du reste : 16871678 - 15902432 = 969246.
•  On abaisse la tranche suivante, dont on sépare deux chiffres à droite.

•  On prend pour diviseur trois fois le carré de la racine déjà trouvée, soit 3 x 818² = 2007372.
•  Le quotient (9692461 / 2007372 = 4) est le chiffre suivant de la racine. On l'essaye en vérifiant si 300 fois le carré de la racine plus 30 fois le produit de la racine trouvée par le chiffre à essayer plus le carré du celui-ci, le tout multiplié par le chiffre essayé peut être soustrait du reste. (300 x 818² + 30 x 818 x 4 + 4²) x 4 = 803341504. On soustrait ce nombre du reste : 969246104 - 803341504 = 165904600.
•  Comme on a épuisé tous les chiffres, la racine cubique entière de 548312678104 est donc 8184 avec un reste de 165904600.
•  En effet 8184³ + 165904600 = 548312678104.

Racine cubique approchée d'un nombre entier.

•  On extrait la racine cubique entière du nombre.
•  On ajoute une virgule à la racine.
•  On continue l'extraction de racine en ajoutant trois zéros à la droite du reste comme aux restes suivants d'ailleurs. (sans tenir compte de la virgule)
•  On arrête lorsque l'on a atteint le nombre voulu de chiffres.

Ex. : Extraire la racine cubique de 548312678104 jusqu'à deux décimales.

•  On extrait la racine cubique entière.
•  On ajoute une virgule à la racine.

•  On continue l'extraction de la racine, en rajoutant des zéros à la droite de chaque reste.
•  La racine cubique de 548312678104 à deux décimales est donc 8184,82.

Racine cubique d'un nombre décimal.

•  Si le nombre à un nombre de chiffres après la virgule qui n'est pas un multiple de 3, il faut rajouter un ou deux 0 à la droite du nombre pour obtenir un nombre de chiffres multiple de trois.
•  On divise le nombre donné en tranche de trois chiffres à gauche et à droite à partir de la virgule. La tranche de gauche peut ne contenir qu'un ou deux chiffres.
•  On extrait la racine cubique de la partie entière du nombre.
•  On ajoute une virgule à la droite de la racine cubique.
•  On continue d'extraire la racine en abaissant les tranches suivantes ou des zéros à défaut jusqu'à ce que l'on ait atteint la précision voulue.

Vérification de la racine cubique.

Pour vérifier l'extraction de racine, on élève la racine trouvée au cube et on y ajoute le reste, on doit retrouver le nombre de départ.

 
Dernière mise à jour, le 29 Janvier 2007