Racine carrée

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Méthode de Héron
Méthode de Friden    

 

Pratique de la racine carrée

Avertissement.

Doit-on dire "racine carrée" ou "racine carré" ?

Il n'y a aucun doute sur l'orthographe, il s'agit bien de l'adjectif carré, et comme tout bon adjectif français s'accorde en genre et en nombre avec le nom auquel il se rapporte...
On doit donc écrire "racine carrée" (racine étant féminin jusqu'à nouvel ordre) : c'est d'ailleurs l'orthographe que l'on trouve dans tous les dictionnaires ainsi que dans les documents officiels émis par le Ministère de l'Éducation aussi bien français que belge.

Oui, mais en anglais on dit 'square root' et non 'squared root'... Mauvaise remarque : square en anglais est non seulement employé comme substantif, mais est également un adjectif, d'ailleurs l'expression 'square root' se trouve sous la définition de l'adjectif 'square' et non du nom 'square'. Donc 'square root ' est l'équivalent exact du français 'racine carrée', la différence est qu'en français l'adjectif s'accorde, mais pas en anglais. 'Squared root' avec le participe passé de 'to square' n'est pas de bon aloi. (comme dit Maître Capelo)

Racine carrée entière d'un nombre entier.

Voir aussi les méthodes de Héron, Newton-Raphson et de de Friden.

Le nombre dont on veut extraire la racine a un chiffres ou deux chiffres.

La racine carrée du nombre est alors le plus grand chiffre dont le carré est inférieur ou égal au nombre donné. Le reste est la différence du nombre donné et du carré de la racine trouvée.

Ex. : Soit à trouver la racine carrée de 77, le plus grand chiffre dont le carré est inférieur ou égal au nombre donné est 8, car 8 x 8 = 64, alors que 9 x 9 = 81.
Donc 8 est la racine carrée de 77, le reste est 77 - 64, soit 13 (càd 77 = 82 + 13).

Table des carrés:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Le nombre a plus de deux chiffres.

  •  On partage le nombre dont on veut extraire la racine carrée en tranches de deux chiffres, à partir de la droite ; la dernière tranche à gauche peut n'avoir qu'un chiffre.
  •  On écrit à la racine le chiffre qui est la racine carrée de la tranche de gauche et on soustrait le carré de ce chiffre de la tranche de gauche.
  •  À la droite du reste, on écrit la tranche suivante, dont on sépare un chiffre à droite ; la partie de gauche forme un dividende, et l'on prend pour diviseur le double du nombre déjà écrit à la racine.
  •  Le quotient est le chiffre suivant de la racine ou un chiffre trop grand ; on l'essaye en l'écrivant à la droite du diviseur, et en multipliant le nombre ainsi formé par ce même chiffre ; si le produit peut se retrancher du nombre formé par le dividende et le chiffre séparé, le chiffre essayé est exact, et on l'écrit à la racine ; sinon on le diminue successivement d'un unité, jusqu'à ce qu'on arrive à une soustraction possible.
  •  On répète les deux dernières opérations jusqu'à ce qu'on ait obtenu à la racine tous les chiffres cherchés.

N.B.: Si l'une des division donne un quotient supérieur à 9, on commence les essais par le chiffre 9, car le chiffre que l'on cherche est évidemment inférieur à 10.
Si l'une des divisions donne 0 pour quotient, on écrit 0 à la racine et on continue l'opération.

Ex. : calculer la racine carrée entière de 8145741.

  •  On partage le nombre en tranches de deux chiffres à partir de la droite.

  •  On écrit à la racine le chiffre qui est la racine carrée de la tranche de gauche () et on soustrait le carré de ce chiffre (22 = 4) de la tranche de gauche (8 - 4 = 4).
  •  À la droite du reste on écrit la tranche suivante dont on sépare un chiffre à droite (4), la partie de gauche formant un dividende (41), et l'on prend pour diviseur le double du nombre déjà écrit à la racine (2 x 2 = 4).

       

  •  Le quotient (41 / 4 = 10) est le chiffre suivant de la racine, comme le quotient a deux chiffres, on essaye 9 directement en le mettant à la droite du diviseur. On multiplie le nombre ainsi formé par ce même chiffre (49 x 9 = 441), comme le nombre ne peut pas être retranché, on le diminue d'une unité (soit 8) et on essaye à nouveau (48 x 8 = 384). Donc 8 est le chiffre de la racine, on soustrait 384 de 414, soit 30.
  •  On abaisse la tranche suivante 57, et l'on prend pour diviseur le double du nombre déjà écrit à la racine (28 x 2 = 56).

           

  •  Le quotient (305 / 56 = 5) est le chiffre suivant de la racine. On l'essaye en le mettant à droite du diviseur et on multiplie le nombre obtenu par ce même chiffre (565 x 5 = 2825). On soustrait 2825 de 3057, soit 232.
  •  On abaisse la tranche suivante 41, et l'on prend pour diviseur le double du nombre déjà trouvé (285 x 2 = 570).

           

  •  Le quotient (2324 / 570 = 4) est le chiffre suivant de la racine. On l'essaye en le mettant à droite du diviseur et on multiplie le nombre obtenu par ce même chiffre (5704 x 4 = 22816). On soustrait 22816 de 23241, soit 425.
  •  Comme on a épuisé tous les chiffres du nombre, on a donc la racine carrée entière de 8145741 qui est 2854 et le reste est 425 (càd 8145741 = 28542 + 425).

Racine carrée approchée d'un nombre entier.

  •  On extrait la racine carrée entière du nombre.
  •  On ajoute une virgule à la racine.
  •  On continue l'extraction de racine en ajoutant deux zéros à la droite du reste comme aux restes suivants d'ailleurs.
  •  On arrête lorsque l'on a atteint le nombre voulu de chiffres.

Ex. : Extraire la racine carrée de 1314 avec deux décimales.

  •  On décompose le nombre en tranches de deux chiffres à partir de la droite.

  •  La racine carrée de la première tranche est 3. On soustrait le carré de ce chiffre de la première tranche (13 - 32 = 4).
  •  On abaisse la tranche suivante dont on sépare le chiffre de droite (4).

  •  On prend pour diviseur le double du nombre déjà écrit à la racine (3 x 2 = 6).
  •  Le quotient (41 / 6 = 6) est le chiffre suivant de la racine, et on l'écrit à la droite du diviseur. On multiplie le nombre ainsi formé par ce même chiffre (66 x 6 = 396), comme le nombre peut être retranché, 6 est bien le chiffre suivant de la racine. On soustrait 396 de 414, soit 18.
  •  Comme on a épuisé tous les chiffres du nombre, on ajoute une virgule à droite de la racine.
  •  On ajoute deux zéros à la droite du test.

  •  On continue jusqu'à ce que l'on ait le nombre voulu de décimales.

  •  La racine carrée approchée à deux décimales de 1314 est donc 36,24.

Racine carrée d'un nombre décimal.

  •  Si le nombre à un nombre impair de chiffres après la virgule, il faut rajouter un 0 à la droite du nombre.
  •  On divise le nombre donné en tranche de deux chiffres à gauche et à droite à partir de la virgule. La tranche de gauche peut ne contenir qu'un chiffre.
  •  On extrait la racine carrée de la partie entière du nombre.
  •  On ajoute une virgule à la droite de la racine carrée.
  •  On continue d'extraire la racine en abaissant les tranches suivantes ou des zéros à défaut jusqu'à ce que l'on ait atteint la précision voulue.

Ex. : Extraire à 3 décimales la racine carrée de 4571,457.

  •  Comme il y a un nombre impair de chiffres après la virgule, on rajoute un 0 à la droite du nombre.
  •  On divise le nombre en tranches de 2 chiffres à partir de la virgule.
  •  On extrait la racine carrée de la partie entière.
  •  On écrit une virgule à la droite de la racine.

  •  On continue d'extraire la racine jusqu'à atteindre la précision voulue en abaissant les tranches suivantes et par défaut des 0.

La racine carrée de 4571,457 à 3 décimales est donc 67,612.

Vérification de la racine carrée.

Pour vérifier l'extraction de racine, on élève la racine trouvée au carré et on y ajoute le reste, on doit retrouver le nombre de départ.

 

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Dernière mise à jour, le 29 Janvier 2007