Résolution de l'équation du quatrième degré. Démonstration.
Soit à résoudre l'équation
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(1) |
Divisons par a qui est non nul
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(2) |
Posons
.
(3)
En remplaçant x dans (2) et en développant
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(4) |
Posons
Alors (4) peut s'écrire
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(5) |
Essayons de factoriser (5) en un produit de deux polynômes du second degré sous la forme
Résolvons le système
Que l'on peut réécrire en
En additionnant et soustrayant les deux premières équations entre elles, on trouve
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(6) |
En introduisant les deux premières équations dans la troisième, on trouve
Et u est donc racine de l'équation (du sixième degré, certes)
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(7) |
Posons U=u2, on a l'équation du troisième degré (ouf! on sait résoudre)
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(8) |
Comme -q2 est négatif (ou nul), l'équation possède toujours une racine réelle positive (ou nulle).
(Pour ceux qui veulent démontrer cela, voilà quelques suggestions
d'étude.
1. q2 est égal au produit des racines U1,
U2, U3 du polynôme (8), c'est-à-dire
.
2. Le théorème fondamental de l'algèbre dit que tout polynôme de degré
n dans
possède toujours n racines en tenant compte de leur multiplicité.
3. Tout polynôme à coefficient réel étant a fortiori un polynôme dans
,
il possède donc n racines complexes ou réelles en tenant compte
de leur multiplicité.
4. Dans tout polynôme à coefficient réel, si une racine est complexe,
alors la conjuguée de cette racine est également une racine du polynôme.
5. Cela implique que tout polynôme à coefficients réels admet un nombre
pair - éventuellement nul - de racines complexes.
6. Et que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède
TOUJOURS au moins une racine réelle.
Donc, (8) possède:
- soit 3 racines réelles.
- soit 1 racine réelle et deux racines complexes conjuguées entre elles.
Si les trois racines sont réelles, leur produit devant être positif, au
moins l'une d'entre elles doit être positive.
Si une seule racine est réelle, le produit des deux autres racines est
forcément un nombre réel positif, car il est le produit de deux nombres
complexes conjugués, donc la racine réelle est forcément positive
Mais trêve de plaisanteries, -q2 est négatif, donc le polynôme (8) est négatif pour U=0; lorsque U augmente, le terme en U3 augmente - les autres termes devenant négligeables - donc (8) sera forcément positif pour un U assez grand, donc entre 0 et ce U, le polynôme (8) traversera l'axe des abscisses, c'est imparable ! c.q.f.d)
Soit U, une racine réelle positive ou nulle quelconque.
Des deux premières relations de (6) et de la définition de U, on a
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(8b) |
Pour trouver les quatre racines de (5), il faut résoudre les deux équations
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(8c) |
Les racines de (1), sont obtenues en utilisant la relation (3).
N.B.: Pour être complet, il faudrait démontrer que n'importe quelle racine réelle ou complexe de (7) peut être prise pour u, et que dans tous les cas on trouvera les 4 mêmes racines. (voir la digression qui suit pour quelques notions)
Digression.
Pour ceux qui veulent démontrer que le choix de la racine u du polynôme (7) importe peu dans le résultat final.
Voilà une présentation
résumée de comment cela peut être démontré.
(Comme on dit dans les bouquins. Une démonstration rigoureuse
sortirait du cadre de cet ouvrage)
Il suffit de prouver que les six
racines du polynôme (7) sont en fait toutes les sommes possibles de deux
racines quelconques du polynôme (5).
Soit x1,x2,x3,x4
les quatre racines réelles ou complexes de (5) (qui existent toujours de
par le théorème fondamental de l'algèbre).
Alors je dis que les racines u1,u2,u3,u4,u5,u6
de (7) sont égales à x1+x2,
x1+x3, x1+x4,
x2+x3, x2+x4,
x3+x4.
La démonstration est assez simple si on utilise les fonctions symétriques élémentaires des racines.
Définition.
Dans tout polynôme
dont les n racines sont x1,x2,...,xn
On a
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(9) |
Les σn sont appelés fonctions symétriques élémentaires des racines de P.
On démontre que tout polynôme symétrique
de degré n peut être exprimé sous forme d'un polynôme
de degré n. (Un polynôme symétrique est un polynôme qui reste
inchangé lorsque l'on permute les variables x1,x2,...,xn).
Pour le polynôme (5) on a les fonctions élémentaires suivantes:
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(10) |
Calculons les fonctions élémentaires des racines de (7).
Si on définit les polynômes suivants en posant u1=x1+x2, etc...
Alors ces polynômes sont des polynômes symétriques de x1,x2,x3,x4 et peuvent s'exprimer en fonction des fonctions élémentaires (9).
Après de lourds calculs, on trouve
Donc les fi sont bien les fonctions élémentaires des racines de (7).
Donc les racines de (7) sont u1=x1+x2, u2=x1+x3, u3=x1+x4, u4=x2+x3, u5=x2+x4, u6=x3+x4.
c.q.f.d.
Démontrons qu'un choix quelconque de u conduit aux 4 mêmes racines.
Prenons une quelconque de ces valeurs, soit u=xa+xb.
(a,b,c,d représente une permutation de 1,2,3,4)
De la première relation (10), on a -u=-(xa+xb)=xc+xd.
De (8b) et (10), on a
On montre de même que w=xaxb.
Les équations (8c) peuvent donc être écrites
Dont les racines sont bien les 4 racines de (5)
On a donc démontré qu'un choix quelconque de la racine u de (7) n'a aucune influence sur le calcul des racines de (5), on les trouve juste dans un autre ordre...
c.q.f.d
Mouais..... Y'aurait-y pas quelques notions sous-jacentes de groupe de
Galois dans tout ça...
Dernière mise à jour, le 29 Janvier 2007