Pratique de la multiplication
Multiplication de nombres entiers
Les deux nombres n'ont qu'un chiffre
Il faut connaître sa table de multiplication
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Un des deux nombres n'a qu'un chiffre et ne se terminent pas par des zéros.
Il faut écrire les deux nombres un au-dessus de l'autre, le plus grand en premier, le nombre d'un chiffre en second. On souligne les deux nombres.
Il faut multiplier successivement, en commençant par la droite, chaque chiffre du premier nombre (appelé multiplicande) par le second (appelé multiplicateur).
Lorsqu'un produit partiel ne dépasse pas 9, on l'écrit ; s'il est plus grand que 9, on n'écrit que le chiffre des unités et on retient les dizaines pour l'ajouter au produit suivant.
On opère ainsi jusqu'au dernier produit qu'on écrit en l'augmentant de la retenue s'il y a lieu.
Ex. : Multiplier 6312 par 7
On écrit les deux nombres l'un au dessus de l'autre, le plus grand en premier. On souligne les deux nombres.
On multiplie le chiffre de droite du premier nombre par le multiplicateur (2 x 7 = 14), on écrit 4 et on retient 1.
Ensuite on multiplie le chiffre suivant par le multiplicateur et on ajout le report au produit (1 x 7 + 1 = 8), comme le résultat ne dépasse pas 9 on l'écrit.
On multiplie le chiffre suivant (3 x 7 = 21), on écrit l'unité 1 et on reporte 2 sur la colonne suivante.
On multiplie le dernier chiffre par le multiplicateur et on ajoute le report (6 x 7 + 2 = 44), comme c'est le dernier chiffre, on écrit le résultat.
Le résultat est donc 44184.
Les deux nombres ont plus d'un chiffre mais ne se terminent pas par des zéros.
Il faut écrire les deux nombres l'un au dessus de l'autre de manière que les unités de même ordre se correspondent. En général le plus long des deux nombres est placé en premier, le plus court en second. Le premier nombre est appelé multiplicande, le second multiplicateur.
Multiplier ensuite le multiplicande successivement par chaque chiffre du multiplicateur, en ayant soin d'écrire le premier chiffre de chaque produit partiel sous le chiffre qui a servi de multiplicateur.
La somme des produits partiels est le produit recherché.
Ex. 1 : Multiplier 25432 par 478.
On écrit les deux nombres l'un au dessus de l'autre, le plus long en premier.
On multiplie le multiplicande par le chiffre de droite du multiplicateur (voir ci-dessus comment multiplier un nombre par un chiffre), on écrit le résultat en prenant soin d'écrire le premier chiffre du produit partiel sous le chiffre qui a servi de multiplicateur. (Les reports sont en orange)
On efface les reports du calcul précédent. On multiplie le multiplicande par le second chiffre, on prend soin d'écrire le premier chiffre du résultat sous le chiffre qui a servi de multiplicateur.
On efface les reports du calcul précédent. On multiple le multiplicande par le troisième et dernier chiffre.
On additionne les produits partiels (voir la page addition). Les reports de l'addition sont en orange.
Si un des chiffres du multiplicateur est zéro, il faut ignorer le produit partiel correspondant sans oublier néanmoins de toujours aligner le chiffre de droite des produits partiels sous le chiffre multiplicateur correspondant.
Ex. : multiplier 214 par 103
Le second produit partiel est ignoré car le second chiffre du multiplicateur est 0, mais les deux premiers partiels restants doivent être correctement alignés.
Au moins un des deux nombres se termine par des zéros.
Dans ce cas il faut faire la multiplication comme si les zéros finaux n'existaient pas (voir les cas précédents), puis écrite à la droite du produit autant de zéros qu'il y en a dans les deux facteurs.
Ex. : Multiplier 24500 par 120.
Il faut multiplier 245 par 12 comme si les zéros n'existaient pas, et ensuite rajouter 3 zéros à la fin du résultat.
Le résultat est 2940000 (deux millions neuf cent quarante mille).
Multiplication de nombres décimaux.
La multiplication des nombres décimaux se fait exactement comme pour les entiers avec les remarques suivantes:
- Supprimer les 0 non significatifs du multiplicande et du multiplicateur
- Effectuer la multiplication comme si la virgule n'existait pas (voir multiplication des nombres entiers).
- Le nombres de chiffres après la virgule dans le résultat est égal à la somme du nombre de chiffres après la virgule du multiplicande et du multiplicateur après suppression des 0 non significatifs.
- Supprimer éventuellement les 0 non significatifs du résultat.
Ex. 1 : multiplier 13,50 par 25,12
- On supprime les 0 non significatifs. On doit donc multiplier 13,5 par 25,12
- Multiplier les deux nombres sans tenir compte de la virgule. 135 x 2512 = 339120 (voir multiplication des entiers).
- Le nombre de chiffres après la virgule du résultat est trois, car 13,5 a un chiffre après la virgule et 25,12 en a deux. donc le résultat est 339,120.
- Supprimer les zéros non significatifs, on trouve 13,50 x 25,12 = 339,12
Multiplication chinoise
Si vous avez du papier quadrillé sous la main, vous pouvez utiliser cette méthode, dites multiplication chinoise.
Ex. 1 : Soit que vous ayez à multiplier 2874 par 3146, vous dessiner un carré de 4 x 4 cases posé sur une de ses pointes (en rouge), vous dessinez ensuite des droites verticales qui découpent chaque case suivant une diagonale (lignes jaunes).
Vous indiquez les deux nombres 2874 et 3146 comme sur la figure, chacun des chiffres indique une rangée de 4 cases.
Pour chaque case à l'intersection de deux rangées écrire le produit des deux nombres qui correspondent à ces deux rangées, le chiffre des dizaines à gauche de la ligne jaune et le chiffre des unités à droite de la ligne jaune, si le produit est moins que 10, considérez que le chiffre des dizaines est 0.
Ensuite additionner tous les chiffres à l'intérieur du carré en suivant les colonnes jaunes en partant de la droite, les reports éventuels (en orange) doivent être reportés sur la colonne suivante.
Ex. 2 : multiplier 287 par 3146.
Dessinez un rectangle de 3 x 4 cases, le rectangle étant posé sur une des ses pointes.
Dessinez les lignes verticales jaunes.
Écrire les produits de chaque chiffres dans les cases correspondantes.
Additionner les chiffres suivant les colonnes jaunes en partant de la droite sans oublier les reports.
Vérification de la multiplication.
- Vous pouvez effectuer la multiplication en permutant les deux nombres. (la multiplication est commutative).
- Vous pouvez diviser le produit par un des deux nombres, vous devez retrouver l'autre nombre, et le reste de la division doit être nul.
Vérification non probante de la multiplication.
Il existe une méthode simple de vérification rapide d'une multiplication sans pour autant assurer que la multiplication soit correcte, mais qu'elle a de fortes chances de l'être. Ce sont les preuves par 3 et 9 (voire par 11).
Vérification de la multiplication.
Pour vérifier une multiplication par la preuve par 3, 9 ou 11, il est de coutume (enfin une des coutumes) de tracer une croix à côté de la multiplication que l'on vient d'effectuer, à gauche de la croix on écrit le reste du multiplicande, à droite, le reste du multiplicateur, en bas le reste du résultat, ensuite on calcule le produit des deux restes des multiplicande et multiplicateur puis on calcule le reste de ce produit que l'on écrit dans le haut de la croix, si les deux nombres en haut et en bas de la croix sont égaux, il y a de fortes chances que la multiplication soit correcte.
Ex. : Preuve par 9 de la multiplication de 452147 par
86704.
Le reste de la division par 9 du premier nombre est 5, on écrit 5 dans
la partie gauche de la croix.
Le reste de la division par 9 du second nombre est 7, on écrit 7 dans la
partie droite de la croix.
Le reste de la division par 9 du produit est 8, on écrit 8 dans la
partie basse de la croix.
On calcule ensuite le produit des deux restes des multiplicande et
multiplicateur, soit 5 x 7 = 35.
Le reste de la division par 9 de 35 est 8. On écrit 8 dans la partie
haute de la croix.
Comme les nombres dans les parties haute et basse de la croix sont
égaux, la multiplication a de fortes chances d'être correcte.
Les preuves par 3, 9 et 11 ne garantissent pas que la multiplication soit correcte, car même si vous permutez deux chiffres dans le résultat ou que vous oubliez d'aligner correctement les produits partiels, la preuve par 3, 9 ou 11 semblera correcte alors que le produit est faux.
Ex. :
La preuve par 9 indique que la multiplication semble correcte alors qu'elle est totalement fausse, on n'a pas aligné correctement les produits partiels, on a oublié de tenir compte du décalage additionnel dû au chiffre 0 du multiplicateur.
Calcul du reste de la division par 3 d'un nombre donné.
En partant de la droite ou de la gauche et en ignorant les chiffres 0, 3, 6 ou 9, on additionne les deux premiers chiffres, on calcule le reste de la division par 3 du résultat, à ce résultat on ajoute le chiffre suivant qui n'est ni un 0, un 3, un 6 ou un 9, on calcule le reste de la division par 3 de ce résultat et ainsi de suite jusqu'à avoir épuisé tous les chiffres. Alors le résultat final est le reste de la division par 3 du nombre de départ.
Ex. : Reste de la division par 3 de 14254378.
1 + 4 = 5
reste 2
2 + 2 = 4 reste 1
1 + 5 = 6 reste 0
0 + 4 = 4 reste 1
1 + 7 = 8 reste 2
(on a ignoré 3)
2 + 8 = 10 reste 1
Le reste de la division par 3 de 14254378 est donc 1.
Calcul du reste de la division par 9 d'un nombre donné
En partant de la droite ou de la gauche et en ignorant les chiffres 0 ou 9, on additionne les deux premiers chiffres, on calcule le reste de la division par 9 du résultat, à ce résultat on ajoute le chiffre suivant qui n'est ni un 0, ni un 9, on calcule le reste de la division par 9 de ce résultat et ainsi de suite jusqu'à avoir épuisé tous les chiffres. Alors le résultat final est le reste de la division par 9 du nombre de départ.
Ex. : Reste de la division par 9 de 14254378.
1 + 4 = 5
reste 5
5 + 2 = 7 reste 7
7 + 5 = 12 reste 3
3 + 4 = 7 reste 7
7 + 3 = 10 reste 1
1 + 7 = 8 reste 8
8 + 8 = 16 reste 7
Le reste de la division par 9 de 14254378 est donc 7.
Calcul du reste de la division par 11 d'un nombre donné
En partant de la droite et en ignorant le chiffre 0,
on additionne les chiffres de rang impair en ne gardant que le reste de
la division par 11 des résultats intermédiaire.
On applique le même procédé aux chiffres de rang pair. On soustrait le
résultat des rangs pairs de celui des rangs impairs, si la différence
n'est pas possible, on ajoute 11 au résultat des rangs pairs, le nombre
trouvé est le reste de la division par 11 du nombre de départ.
Ex. : Reste de la division par 11 de 14254378.
Chiffres de rang impair. x4x5x3x8
8 + 3 = 11
reste 0
0 + 5 = 5 reste 5
5 + 4 = 9 reste 9
Chiffres de rang pair. 1x2x4x7x
7 + 4 = 11
reste 0
0 + 2 = 2 reste 2
2 + 1 = 3 reste 3
On soustrait le résultat de rang pair de celui des rangs impair, on a 9 - 3 = 6.
Donc 6 est le reste de la division de 14254378 par 11.
Dernière mise à jour, le 29 Janvier 2007