Grands Nombres

Accueil Général Mathématiques Remonter Septante Octante et huitante Nonante Milliasse Grands Nombres

 
2000 Puissances
Nombres gargantuesques
Echelle grecque
Notation de Knuth
Notation de Conway    

Ecriture des grands nombres

Généralités.

Les grands nombres comme 1.000.000, 1.000.000.000, ... ou en général 103n portent des noms particuliers comme million, milliard, billion, trillion, quadrillion, billiard, trilliard, quadrilliard, etc...

Si million et milliard représentent respectivement 106 et 109 dans tous les cas, il n'est pas du tout pareil pour les autres; billion peut représenter 109 ou 1012 suivant le pays dans lequel il est employé ou même l'époque.

Il y a en fait deux systèmes utilisés:

  •  L'échelle latine courte employée aux USA, de plus en plus en Grande-Bretagne. Elle était également employée en France au XVIIIe siècle.
  •  L'échelle latine longue employée en Europe continentale, comme en France ou en Belgique.

Il existe au moins deux modes de nommage en latin, les plus connues sont celles inventées par John Horton Conway et Russ Rowlett (qui ne sont que des généralisations des notations de Nicolas Chuquet et Jacques Peletier du Mans, la notation de Rowlett a été très complétée par Landon Curt Noll). La notation latine (échelle longue ou courte) décrite dans cette page est celle de Rowlett car elle est la plus simple. La notation de Conway sera expliquée dans une autre page.

Ex:  10756 Notation de Conway : sesviginticentillion
               Notation de Rowlett : censexvigintillion

Autres systèmes:

  •  L'échelle grecque ou échelle gillion également inventée par Russ Rowlett, alternative aux échelles latines et indépendante de toute notion géographique ou historique.
  •  La méthode du Professeur Knuth ou échelle en -yllion ou encore les Knuthyllions.
  •  Il existe un système Knuth-Pelletier en -yllion et -ylliard, mais too much is too much, alors passons celui-là (c'est juste une version "échelle longue" de la méthode de Knuth).

Références:


http://www.isthe.com/chongo/tech/math/number/howhigh.html
http://www.isthe.com/cgi-bin/chongo/number.cgi
The Book of Numbers. John Horton Conway & Richard Kenneth Guy. Page 15.
https://www.unc.edu/~rowlett/units/large.html
http://www.miakinen.net/vrac/zillions
https://sites.google.com/site/largenumbers/home/2-4/Rowlett-Saibian

Vous pouvez trouver des tas de variantes sur Internet comme par exemple sur cette page. Je ne m'attarderai pas sur les googol, googolplex ou autres machinplex, twentilliard, crorillion, awkillion, etc...

A cause de l'hégémonie commerciale américaine sur le monde, l'échelle courte devient de plus en plus employée au détriment de l'échelle longue.

L'échelle courte donne les noms million, billion, trillion, quadrillion, quintillion, n-illion, etc... aux valeurs 106, 109, 1012, 1015, 1018,  103n+3, etc... C'est-à-dire que chaque valeur est la valeur précédente multipliée par un facteur 1000.

Ex. 47.000.000.000.000.000 = quarante-sept quadrillions.

L'échelle longue donne les noms million, billion, trillion, quadrillion, quintillion, n-illion, etc... aux valeurs 106, 1012, 1018, 1024, 1030, 106n, etc... C'est-à-dire que chaque valeur est la valeur précédente multipliée par un facteur 1000000.  La valeur 109 s'appelle toujours milliard dans l'échelle longue, mais rien n'interdit de dire mille millions, Les valeurs intermédiaires 1015, 1021, 1027, 106n+3, etc... peuvent être exprimées de deux manières, soit on dit mille billions, mille trillions, mille quadrillions, mille n-illions, etc... soit en copiant sur milliard : billiard, trilliard, quadrilliard, n-illiard, mais ces noms sont à éviter, il est préférable de n'utiliser que les mots en -illion à l'exception de milliard.

Ex. 47.000.000.000.000.000  = quarante-sept billiards ou préférablement quarante-sept mille billions.

Voici quelques noms, on verra plus loin comment former les autres. (Une liste plus complète peut être trouvée ici).

Nombre Echelle courte Echelle longue
106 million million
109 billion milliard
1012 trillion billion
1015 quadrillion
ou quatrillion
billiard
1018 quintillion trillion
1021 sextillion trilliard
1024 septillion quadrillion
ou quatrillion
1027 octillion quadrilliard
ou quatrilliard
1030 nonillion quintillion
1033 décillion quintilliard
1036 undécillion sextillion
1039 duodécillion
ou dodécillion
sextilliard
1042 trédécillion septillion
1045 quattordécillion septilliard
1048 quindécillion octillion
1051 sexdécillion octilliard
1054 septendécillion nonillon
1057 octodécillion nonilliard
1060 novemdécillion décillion
1063 vigintillion décilliard
1066 unvigintillion undécillion
1069 d(u)ovigintillion undécilliard
1072 trévigintillion d(u)odécillion
1075 quattuorvigintillion d(u)odécillard
1090 novemvigintillion quindécillion
1093 trigintillion quindécilliard
10123 quadragintillion vigintilliard
10153 quinquagintillion quinvigintilliard
10183 sexagintillion trigintilliard
10213 septuagintillon quintrigintilliard
10243 octogintillion quadragintilliard
10273 nonagintillion quinquadragintilliard
10303 centillion sexagintilliard
10600 cennovemnonagintillion centillion
10603 ducentillion centilliard
10903 trécentillion cenquinquagintilliard
101203 quadringentillion ducentilliard
101503 quingentillion ducenquinquagintilliard
101803 sescentillion trécentilliard
102103 septingentillion trécenquinquagintilliard
102403 octingentillion quadringentilliard
102703 nongentillion quadringenquinquagintilliard
103000 nongennovemnonagintillion quingentillion
103003 milliatillion
ou millillion
quingentilliard
106003 d(u)omilliatillion
ou d(u)omillilion
milliatilliard
ou millilliard

 

Comment nommer un grand nombre

On divise le nombre en tranches de trois chiffres de la droite vers la gauche. La tranche de droite est la tranche des unité, la tranche suivante celle des milliers, la tranche suivante celle des millions, etc...

On peut écrire un nombre n sous la forme

Pour nommer ce nombre, il suffit de nommer chaque ni suivi du nom de la puissance de mille correspondante suivant l'échelle que l'on veut employer, la partie inférieure au million n1,0 doit être écrite comme un seul nombre. Les tranches qui sont absentes (égales à zéro) sont totalement ignorées.

Ex. : 14253750000256241134977, on le décompose en 14,253,750,000,256,241,134977

  •  14x10007 = 14x1021 = quatorze sextillions (trilliards)
  •  253x10006 = 253x1018 = deux cent cinquante-trois quintillions (trillions)
  •  750x10005 = 750x1015 = sept cent cinquante quadrillions (billiards)
  •  000x10004 = 000x1012, on ignore cette tranche.
  •  256x10003 = 256x109 = deux cent cinquante-six billions (milliards)
  •  241x10002 = 241x106 = deux cent quarante et un millions
  •  134977 = cent trente-quatre mille neuf cent soixante-dix-sept

Soit, en échelle courte : quatorze sextillions deux cent cinquante-trois quintillions sept cent cinquante quadrillions deux cent cinquante-six billions deux cent quarante et un millions cent trente-quatre mille neuf cent soixante-dix-sept.
ou en échelle longue : quatorze trilliards deux cent cinquante-trois trillions sept cent cinquante billiards deux cent cinquante-six milliards deux cent quarante et un millions cent trente-quatre mille neuf cent soixante-dix-sept.

Si on ne veut pas utiliser billiard, etc... on décompose le nombre en tranches de six chiffres comme suit,

Suivant que l'on veuille employer le mot milliard ou pas.

Ex. : Soit 14253750000256241134977. On le décompose en 14253,750000,256,241,134977

  •  14253x10000003 = 14253x1018 = quatorze mille deux cent cinquante-trois trillions
  •  750000x10000002 = 750000x1012 = sept cent cinquante mille billions
  •  256x1000000000 = 256x109 = deux cent cinquante-six milliards
  •  241x1000000 = 241x106 = deux cent quarante et un millions
  •  134977 = cent trente-quatre mille neuf cent soixante-dix-sept

soit, quatorze mille deux cent cinquante-trois trillions sept cent cinquante mille billions deux cent cinquante-six milliards deux cent quarante et un millions cent trente-quatre mille neuf cent soixante-dix-sept.

ou encore en décomposant en 14253,750000,256241,134977; quatorze mille deux cent cinquante-trois trillions sept cent cinquante mille billions deux cent cinquante-six mille deux cent quarante et un millions cent trente-quatre mille neuf cent soixante-dix-sept.

 

Comment nommer toutes les puissances de mille.

Cette partie présente un de facto pseudo standard assez cohérent pour la formation des noms des puissances de mille.

  1. La première chose à faire est d'extraire l'index du nom pseudo-latin à utiliser.
    Si n représente l'index, alors:
    1.  Pour l'échelle courte, les puissances de mille sont de la forme 103.(n+1).
    2.  Pour l'échelle longue, les puissances de mille sont de la forme 106.n ou 106.n+3.
  2. Ayant déterminé n, on cherche le préfixe pseudo-latin d'indice n comme expliqué plus loin.
  3. On ajoute le suffixe correct au préfixe pseudo-latin.
    1. Pour l'échelle courte, on ajoute tillion, excepté lorsque le dernier syntagme du préfixe est m, b, tr, quadr, non ou déc, dans ce cas on ajoute illion.
    2. Pour l'échelle longue, si la puissance est de la forme 106n, on ajoute tillion ou illion, sinon on ajoute tilliard ou illiard.

Exemples en échelle courte:

10252 = 103(83+1). Le préfixe pseudo-latin pour 83 est tréoctogin. 10252 s'écrit donc tréoctogintillion.
104575 = 103(1524+1). Le préfixe pour 1524 est milliaquingenquattuorvigin. 104575 s'écrit donc milliaquingenquattuorvigintillion.
1014179023 = 103(4726340+1). Le préfixe pour 4726340 est quattuormilliamilliaseptingentréviginmilliatrécenquadragin. 1014179023 s'écrit donc quattuormilliamilliaseptingentréviginmilliatrécenquadragintillion.

Exemples en échelle longue:

10252 = 106.42. Le préfixe pseudo-latin pour 42 est duoquadragin. 10252 s'écrit donc duoquagintillion.
104575 = 106.762 + 3. Le préfixe pour 762 est septingenduosexagin. 104575 s'écrit donc septingenduosexagintilliard.
1014179023 = 106.2363170+3. Le préfixe pour 2363170 est duomilliamilliatrécentrésexaginmilliacenseptuagin. 1014179023 s'écrit donc duomilliamilliatrécentrésexaginmilliacenseptuagintilliard.

Formation du préfixe pseudo-latin selon la méthode de Russ Rowlett.

Soit n l'index.

Si n < 10, on utilise les préfixes suivants:

Index Préfixe
1 m-
2 b-
3 tr-
4 quadr-  ou quatr-
5 quint-
6 sext-
7 sept-
8 oct-
9 non-

Tous les autres noms, c'est-à-dire quand n ≥ 10, sont composés à partir de ces quelques syntagmes et du mot millia:

Unités   Dizaines   Centaines
Index Syntagme   Index Syntagme   Index Syntagme
0     0     0  
1 un-   10 déc-   100 cen-
2 duo-
ou do-
  20 vigin-   200 ducen-
3 tré-   30 trigin-   300 trécen-
4 quattuor-   40 quadragin-   400 quadringen-
5 quin-   50 quinquagin-   500 quingen-
6 sex-   60 sexagin-   600 sescen-
7 septen-   70 septuagin-   700 septingen-
8 octo-   80 octogin-   800 octingen-
9 novem-   90 nonagin-   900 nongen-
 

On procède comme suit, on divise n en tranches de trois chiffres de droite à gauche.

Les tranches nulles sont ignorées.
Les puissances 1000i sont traduites en milliamillia...millia en répétant millia i fois. (voir ici pour les notations alternatives et les nombres gargantuesques)
Chaque tranche ni est décomposée en c.100 + u + d.10, alors on écrit le nombre en utilisant les syntagmes c.100, u et d.10 de la table précédente dans cet ordre (en sachant qu'à un nombre nul correspond une chaîne vide).

Exception : Si np , soit la première tranche vaut 1, alors on n'écrit pas le syntagme un devant millia, cette règle ne s'applique pas pour les tranches suivantes. (Ex. 1000 = millia, 1000000 = milliamillia, mais 1001000 = milliamilliaunmillia)

Exemples:

24 = 0.100 + 4 + 2.10 = "" + "quattuor " + "vigin" = quattuorvigin
105 = 1.100 + 5 + 0.10 = "cen" + "quin" + "" = cenquin
780 = 7.100 + 0 + 8.10 = "septingen" + "" + "octogin" = septingenoctogin
596 = 5.100 + 6 + 9.10 = "quingen" + "sex" + "nonagin" = quingensexnonagin

420147524 = (400 + 0 + 20).10002 + (100+7+40).1000 + (500+4+20) = ("quadringen" + "" + "vigin") + "milliamillia" + ("cen" + "septen" + "quadragin") + "millia" + ("quingen" + "quattuor" + "vigin") = quadringenviginmilliamilliacenseptenquadraginmilliaquingenquattuorvigin

5000010000000006 = (000 + 5 + 00).10005 + 0.10004 + (000 + 0 + 10).10003 + 0.10002 + 0.1000 + (000 + 6 + 00) = ("" + "quin" + "") + "milliamilliamilliamilliamillia" + "" + ("" + "" + "déc") + "milliamilliamillia" + "" + "" + ("" + "sex" + "") = quinmilliamilliamilliamilliamilliadécmilliamilliamilliasex (ou quinquinquiesmilliadéctermilliasex, voir nombres gargantuesques)

1000000 = (000 + 1 + 00).10002 + 0.1000 + 0 = milliamillia (ou bismillia, voir nombres gargantuesques)
1001001 = milliamilliaunmilliaun (ou bismilliaunmilliaun)

 

Égyptien Akkadien Polyèdres Éros et Psyché 
Dernière mise à jour, le 29 Janvier 2007