Les équations du second, troisième et quatrième degré.
Dans la page qui suit, vous trouverez la méthode générale pour résoudre les équations du second, troisième et quatrième degré avec des exemples. Pour une méthode plus algorithmique tenant compte de tous les cas, ou pour les démonstrations vous pouvez utiliser les liens sur la gauche de cette page.
Equation du second degré.
Pour résoudre l'équation du second degré suivante, où a, b et c sont des nombres réels et a est non nul.
On calcule le réalisant
On a trois cas
1. Δ>0. Dans ce cas on a deux racines réelles qui sont
2. Δ=0. Dans ce cas, on n'a qu'une seule racine (en fait une racine double) qui est
3. Δ<0. L'équation ne possède pas de racines réelles, mais possède deux racines complexes ou imaginaires qui sont
où i est l'unité imaginaire telle que i2=-1.
Pour une approche plus algorithmique, voir
ici.
Pour la théorie voir ici.
Exemples.
A) 3x2+9x-84=0.
On calcule Δ=b2-4ac=92-4×3×(-84)=81+1008=1089 (=332)
Comme Δ est positif, les racines sont donc
En effet 3.42+9.4-84 = 48+36-84 = 0 et 3.(-7)2+9.(-7)-84 = 147-63-84 = 0.
Donc 3x2+9x-84 = 3.(x-4).(x+7)
B) -2x2+12x-18=0.
On calcule Δ=b2-4ac=122-4×(-2)×(-18)=144-144=0
Comme Δ est nul, on a la racine (double) : x = -b/(2a)=-12/(2.(-2)) = 3.
En effet -2.32+12.3-18 = -18+36-18 = 0.
Donc -2x2+12x-18 = -2.(x-3)2.
C) 4x2-40x+116=0.
On calcule Δ=b2-4ac=(-40)^2-4×4×116= -256
Comme Δ est négatif, l'équation n'a pas de racines réelles.
Les deux racines complexes sont:
En effet 4.(5+2i)2-40.(5+2i)+116 = 4.(21+20i)-(200+80i)+116 = (84-200+116)+(80-80)i = 0.
Equation du troisième degré.
N.B.: Il existe différentes méthodes, mais elles fournissent toutes des formules équivalentes.
Pour résoudre l'équation du troisième degré suivante, où a, b, c et d sont des nombres réels et a est non nul.
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(1) |
On doit d'abord faire un changement de variable pour la ramener à une équation de la forme
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(2) |
pour cela on pose
,
c'est-à-dire
,
ce qui permet de déterminer les valeurs de p et q:
ou encore
On calcule le réalisant
On a trois cas
1. Δ>0. Dans ce cas l'équation (2) n'a qu'une seule racine réelle et deux racines complexes qui sont données par la formule de Cardan:
N.B.: Si l'équation possède une racine entière ou rationnelle, la
formule précédente nous donne souvent une expression compliquée non
simplifiable et qui pourtant est un nombre entier ou rationnel.
Par l'exemple, si on résout X3+6X-20=0 (dont 2 est solution),
on trouvera comme racine
au lieu de 2, et pourtant c'est la même valeur.
En effet, un simple calcul montre que
,
donc
,
mais dans le cas général on ne pourra pas simplifier.
C'est encore pire quand Δ est négatif, dans ce cas on a des nombres entiers ou rationnels donnés sous forme de cosinus...
Les solutions de l'équation (1) sont:
2. Δ=0. Dans ce cas, on n'a que deux racines réelles (une double et une simple)
Les solutions de l'équation (1) sont:
3. Δ<0. L'équation (2) possède trois racines réelles
Les solutions de l'équation (1) sont:
Pour une approche plus algorithmique, voir ici.
Pour la théorie voir ici.
Exemples.
A) 2x3+6x2-624x-8064=0. (1)
On calcule p et q pour la transformer en une équation de la forme X3+pX+q=0.
Ce qui donne l'équation (2)
On calcule Δ
Comme Δ est positif, l'équation (2) a une racine réelle et deux complexes qui sont:
Et les solutions de l'équation (1) sont:
En effet 2.213+6.212-624.21-8064 = 18522+2646-13104-8064 = 0.
de même
pour x3, je vous laisse la vérification.
B) 2x3-24x2+108x-216=0
On calcule p et q. On trouve l'équation X3+6X-20=0
Δ vaut 202/4+63/27=108.
On trouve les valeurs de X (en général, on ne sait pas simplifier les radicaux).
et enfin les solutions de l'équation de départ sont
C) -3x3+9x2-12=0 (1).
On calcule p et q en posant x=X+1. On trouve l'équation X3-3X+2=0 (2)
On calcule Δ = 22/4 - 33/27 = 0
Comme Δ est, nul les racines de l'équation (2) sont:
X1 = 3q/p = 3.2/(-3) = -2
X2 = X3 = -3q/2p = 1
Et les racines de l'équations (1) sont donc
x1=-1, x2=x3=2
D) 2x3-12x2-62x+240=0 (1)
On calcule p et q, en posant x=X+2. On trouve l'équation X3-43X+42=0 (2).
On calcule Δ=422/4-433/27=-67600/27
Comme Δ est négatif, on a trois racines réelles.
On calcule
De là on trouve les racines de (2) (N.B.: Les résultats sont des entiers
malgré que l'on soit passer par des calculs de cosinus)
Et enfin les solutions de (1) sont x1=8, x2=-5, x3=3
Equation du quatrième degré.
Pour résoudre l'équation du quatrième degré suivante, où a, b, c, d et e sont des nombres réels et a est non nul.
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(1) |
On doit d'abord faire un changement de variable pour la ramener à une équation de la forme
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(2) |
pour cela on pose
,
c'est-à-dire
,
ce qui permet de déterminer les valeurs de p, q et r:
ou encore
Il faut maintenant résoudre l'équation du troisième degré:
Cette équation possède toujours au moins une racine réelle positive, soit U une de ces racines positives (n'importe laquelle en fait, car on trouvera les mêmes solutions à la fin).
On calcule
N.B. u est la racine carrée positive de U.
Les quatre solutions de l'équation (2) sont les racines des deux équations du second degré:
Et les solutions de l'équation (1) sont obtenues à partir de la formule
Pour une approche plus algorithmique, voir ici.
Pour la théorie voir ici.
Exemples.
A) -3x4-24x3+21x2+150x-144=0 (1)
Ramenons l'équation (1) à la forme X4+pX2+qX+r=0 en posant x=X-2.
On calcule
et donc X4-31X2+42X+72=0 (2).
On doit résoudre l'équation du troisième degré (U3+2pU2+(p2-4r)U-q2=0)
Soit U3-62U2+673U-1764=0.
On trouve les 3 racines 4, 9 et 49, comme elles sont toutes positives,
on peut prendre n'importe laquelle,
soit U=4, on calcule
Il reste à résoudre les deux équations X2+2X-24=0 et X2-2X-3=0.
On trouve X1=-6, X2=4, X3=-1, X4=3. (N.B. faites les calculs avec U=9 ou U=49, vous trouverez les mêmes valeurs mais dans un autre ordre)
Et les solutions de (1) sont donc x1=-8, x2=2, x3=-3, x4=1.
B) x4-16x3+101x2-276x+360=0 (1)
En posant x=X+4, on a l'équation X4+5X2+20X+104=0
On résout l'équation du troisième degré U3+10U2-391U-400=0.
On trouve -25, -1 et 16
On prend la valeur positive U=16, et de là, on a les valeurs
u=4
v=8
w=13
On résout les équations X2+4X+8=0 et X2-4X+13=0 qui fournissent les racines de (2) qui sont toutes complexes:
X1=-2+2i, X2=-2-2i, X3=2+3i, X4=2-3i.
Et enfin les solutions de (1): x1=2+2i, x2=2-2i, x3=6+3i, x4=6-3i
Dernière mise à jour, le 29 Janvier 2007