Pratique de la division

N.B. : Le nombre que l'on divise est appelé dividende, le nombre par lequel on divise est appelé diviseur, le résultat de la division est le quotient. Le reste est le nombre qu'il faut ajouter au produit du diviseur par le quotient pour obtenir le dividende.

Division entière de deux nombres entiers.

Il faut distinguer trois cas suivant le nombre de chiffres du quotient. Pour connaître le nombre de chiffres du quotient, on applique la règle suivante:

Le nombre de chiffres du quotient est égal au plus petit nombre de zéros qu'il faut écrire à la droite du diviseur pour former un nombre supérieur au dividende.

Ex. : Soit à diviser 12457 par 745, comme il faut ajouter 2 zéros à droite du diviseur 745 pour obtenir un nombre supérieur au dividende (74500 > 12457), le quotient aura 2 chiffres. Soit à diviser 745 par 6, comme il faut rajouter trois zéros au diviseur pour obtenir un nombre supérieur au dividende, le quotient aura trois chiffres (6000 > 745).

Le diviseur et le quotient n'ont qu'un chiffre.

on cherche le plus grand multiple du diviseur inférieur ou égal au dividende, le nombre par lequel il faut multiplier le diviseur pour obtenir ce multiple est le quotient recherché, la différence entre le dividende et le multiple donne le reste

Ex. 1 : 51 divisé par 6.

Le plus grand multiple de 6 inférieur ou égal à 51 est 48 = 6 x 8, le quotient est donc 8, le reste est 51 - 48 soit 3.

Ex. 2 : 35 divisé par 5.

Le plus grand multiple de 5 inférieur ou égal à 35 est 35 = 5 x 7, le quotient est donc 7, le reste est 35 - 35 soit 0.

Le diviseur est quelconque, le quotient n'a qu'un chiffre.

•  On divise par le chiffre des plus hautes unités du diviseur me nombre des unités du même ordre du dividende.
•  On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé. Si le produit obtenu peut être retranché du dividende, le chiffre trouvé est le quotient cherché ; dans le cas contraire, on essaye successivement les chiffres immédiatement inférieurs jusqu'à ce qu'on obtienne un produit pouvant se retrancher du dividende. N.B.: si cette division donne un nombre de deux chiffres, alors le premier chiffre à essayer est 9, car on sait que le quotient n'a qu'un chiffre.
•  La différence entre le dividende et ce nombre donne le reste de la division.

Ex. 1 : diviser 791 par 82.

•  On divise par le chiffre des plus hautes unités du diviseur (8), le nombre des unités du même ordre du dividende (79). On trouve 9.
•  On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé (82 x 9 = 738), comme ce nombre peut être soustrait du dividende, 9 est le quotient cherché, le reste est la différence 791 - 738 soit 53.

Ex. 2 : diviser 645 par 73.

•  On divise par le chiffre des plus hautes unités du diviseur (7), le nombre des unités du même ordre du dividende (64). On trouve 9.
•  On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé (73 x 9 = 657), comme ce nombre ne peut pas être retranché du dividende, on essaye avec le chiffre immédiatement inférieur, soit 8, le produit du diviseur par ce chiffre (73 x 8 = 584) peut être retranché du dividende, donc le quotient cherché est 8 et le reste est 645 - 584 soit 61.

Ex. 3 : diviser 278 par 102.

•  On divise par le chiffre des plus hautes unités du diviseur (1), le nombre des unités du même ordre du dividende (2). On trouve 2.
•  On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé (105 x 2 = 210), comme ce nombre peut être soustrait du dividende, 2 est le quotient cherché, le reste est la différence 278 - 210 soit 68.

Ex. 4 : diviser 260 par 28.

•  On divise par le chiffre des plus hautes unités du diviseur (2) , le nombre des unités du même ordre du dividende (26). On trouve 13.
•  Comme le nombre trouvé a deux chiffres, le quotient à essayer est 9. le produit du diviseur par 9 étant 252 et pouvant être retranché du dividende, 9 est donc le quotient recherché. Le reste est 260 - 252 = 8

Le quotient a plusieurs chiffres.

•  On prend sur la gauche du diviseur un nombre qui contient le diviseur au moins une fois et moins de 10 fois.
•  On divise ce premier dividende partiel par le diviseur et on obtient le premier chiffre du quotient.
•  On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé et on retranche le produit du premier dividende partiel. À la droite du reste on écrit le chiffre suivant du dividende.
•  On opère sur ce deuxième dividende partiel comme on a opéré sur le premier, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait épuisé les chiffres du dividende.
•  Le nombre formé par les chiffres trouvés est le quotient, et le reste de la dernière soustraction est le reste de la division.
  N.B.: si un dividende partiel est inférieur au diviseur, on écrit 0 au quotient en on abaisse directement le chiffre suivant du diviseur.

Ex. 1 : Diviser 451479 par 256.

•  On prend sur la gauche du diviseur un nombre qui contient le diviseur au moins une fois et moins de 10 fois. soit 451.
•  On divise ce premier dividende partiel par le diviseur et on obtient le premier chiffre du quotient, soit 1.
•  On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé (256 x 1 = 256) et on retranche le produit du premier dividende partiel (451 - 256 = 195). À la droite du reste on écrit le chiffre suivant du dividende (4).

•  On opère sur ce deuxième dividende partiel comme on a opéré sur le premier.
•  On divise ce dividende partiel par le diviseur, on obtient 7 (après avoir essayé 9 et 8 qui étaient trop grand).
•  On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé (256 x 7 = 1792) et on retranche le produit du premier dividende partiel (1954 - 1792 = 162). À la droite du reste on écrit le chiffre suivant du dividende (7).

•  On opère sur le dividende partiel suivant.
•  La division de ce dividende partiel par le diviseur donne 6 (après avoir essayé 8 et 7).
•  On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé (256 x 6 = 1536) et on retranche le produit du premier dividende partiel (1627 - 1536 = 91). À la droite du reste on écrit le chiffre suivant du dividende (9).

•  On opère sur le dividende partiel suivant.
•  La division de ce dividende partiel par le diviseur donne 3 (après avoir essayé 4).
•  On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé (256 x 3 = 768) et on retranche le produit du premier dividende partiel (919 - 768 = 151). Comme on a épuisé tous les chiffres du dividende, la division est terminée, le quotient est donc 1763 et le reste 151.

Ex. 2 : Diviser 75685 par 245.

•  On prend sur la gauche du diviseur un nombre qui contient le diviseur au moins une fois et moins de 10 fois. soit 756.
•  On divise ce premier dividende partiel par le diviseur et on obtient le premier chiffre du quotient, soit 3.
•  On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé (245 x 3 = 735) et on retranche le produit du premier dividende partiel (756 - 735 = 21). À la droite du reste on écrit le chiffre suivant du dividende (8).

•  Le dividende partiel obtenu est inférieur au diviseur, on écrit 0 au quotient et on abaisse le chiffre suivant.

•  On opère sur le dividende partiel suivant.
•  La division de ce dividende partiel par le diviseur donne 8 (après avoir essayé 9).
•  On multiplie le diviseur par le chiffre trouvé (245 x 8 = 1960) et on retranche le produit du premier dividende partiel (2185 - 1960 = 225). Comme on a épuisé tous les chiffres du dividende, la division est terminée, le quotient est donc 308 et le reste 225.

Quotient approché à moins d'une unité décimale de deux nombres entiers ou décimaux.

Les deux nombres sont entiers.

On effectue d'abord la division des deux nombres ; on met alors une virgule au quotient et on poursuit la division en écrivant un zéro à la droite du reste, comme aussi d'ailleurs, à la droite de chacun des restes suivants. On s'arrête lorsqu'on a écrit au quotient le nombre voulu de décimales.

Ex. : Diviser 355 par 113 jusqu'à six décimales.

Le diviseur seul est entier.

On divise la partie entière du dividende par le diviseur, on met une virgule au quotient et on continue l'opération en abaissant successivement les chiffres décimaux du dividende ou, à leur défaut, des zéros. On s'arrête quand on a écrit au quotient le nombre voulu de décimales.

Ex. : Diviser 34,7 par 11 jusqu'à 2 décimales.

Le diviseur est décimal.

Dans ce cas, on multiplie le diviseur et le dividende par 10, 100, 1000, ... suivant qu'il y a 1, 2, 3, ... décimales au diviseur. Le diviseur devient ainsi un nombre entier et on est ramené à un des deux cas précédents.

Ex. : diviser 3,47 par 1,1 jusqu'à deux décimales.

En multipliant les deux nombres par 10, le diviseur devient entier, on fait la division comme dans l'exemple précédent.

Le diviseur est supérieur au dividende.

On multiplie le dividende par 10, 100, 1000, ... jusqu'à ce qu'il deviennent inférieur ou égal au diviseur. On effectue la division comme plus haut, on divise ensuite le quotient avec le nombre par lequel on a multiplié le dividende.

Vérification de la division.

Pour vérifier une division, on multiplie le diviseur par le quotient trouvé et on ajoute le reste, on doit retrouver le dividende.

Vérification non probante de la division.

Preuve par 3 : (voir aussi la vérification non probante de la multiplication)

On trace une croix à côté de la division à vérifier.
On calcule le reste de la division du diviseur par 3 et on l'écrit dans la partie gauche de la croix.
On calcule le reste de la division du quotient par 3 et on l'écrit dans la partie droite de la croix.
On calcule le reste de la division du reste par 3 et on l'écrit dans la partie haute de la croix.
On calcule le produit des deux nombres de droite et de gauche de la croix et on lui ajoute le nombre de la partie.
On calcule le reste de la division par 3 de ce nombre dans la partie basse de la croix.
On calcule le reste de la division par 3 du dividende que l'on écrit en dessous de la croix, ce reste doit être égal au nombre indiqué dans la partie basse de la croix.

Les preuves par 9 et 11 se font de la même manière.

Ex. : Vérifier par la preuve par 9 la division de 75685 par 245.

Le reste du diviseur est 2, que l'on écrit dans la partie gauche de la croix.
Le reste du quotient est 2, que l'on écrit dans la partie droite de la croix.
Le reste du reste est 0, que l'on écrit dans la partie haute de la croix.
On calcule 2 x 2 + 0 = 4 dont on prend le reste de la division par 9, soit 4. On l'écrit en bas de la croix.
Sous la croix on écrit le reste du dividende, soit 4.
Comme les deux nombres en bas de croix sont égaux, il y a de forte chance que la division soit correcte.

 
Dernière mise à jour, le 29 Janvier 2007