Algorithme degré 4

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Equation du quatrième degré. Algorithme.

Equation du type X4+pX3+qX+r=0.

  1. p=0, q=0, r=0 (X4=0). L'équation a une racine réelle quadruple.
    X1=X2=X3=X4=0.
  2. p=0, q=0, r≠0 (X4+r=0).
    1. r>0.
      L'équation n'a pas de racines réelles mais quatre racines complexes.
    2. r<0.
      L'équation a deux racines réelles et deux racines complexes.
  3. p=0, q≠0, r=0 (X4+qX=0). L'équation a deux racines réelles et deux complexes.
  4. p≠0, q=0, r=0 (X4+pX2=0).
    1. p>0. L'équation a une racine réelle double et deux complexes.
    2. p<0. L'équation a trois racines réelles dont une double.
  5. p≠0, q=0, r≠0 (X4+pX2+r=0).
    On résout l'équation du second degré Y2+pY+r=0.
    1. Y1 et Y2 sont réels.
      1. Y1>0, Y2>0.
        1. Y1≠Y2. L'équation a quatre racines réelles distinctes.
        2. Y1=Y2. L'équation a deux racines réelles doubles.
      2. Y1>0, Y2<0. L'équation a deux racines réelles et deux racines complexes.
      3. Y1<0, Y2>0. L'équation a également deux racines réelles et deux racines complexes.
      4. Y1<0, Y2<0.
        1. Y1≠Y2. L'équation a quatre racines complexes distinctes.
        2. Y1=Y2. L'équation a deux racines complexes doubles.
    2. Y1 et Y2 sont complexes.
      1. Y1≠Y2. L'équation a quatre racines complexes distinctes.
      2. Y1=Y2. L'équation a deux racines complexes doubles.
  6. p≠0, q≠0, r=0 (X4+pX2+qX=0).
    La racine X1 vaut 0, les trois racines X2, X3 et X4 sont les racines de l'équation du troisième degré X3+pX+q=0.
  7. Autres cas. On résout l'équation du troisième degré.

    On prend une quelconque des racines réelles positives (il en existe toujours au moins une).
    On calcule

    Les racines de l'équation sont les racines des deux équations du second degré

Equation générale ax4+bx3+cx2+dx+e=0, a non nul.

  1. b=0. (ax4+cx2+dx+e=0)
    On calcule

    Les racines de l'équation sont les racines de x4+px3+qx+r=0.
  2. b≠0, c=0, d=0, e=0 (ax4+bx3=0).
    L'équation a deux racines réelles dont une triple.
    x1=x2=x3=0, x4=-b/a.
  3. b≠0, c≠0, d=0, e=0 (ax4+bx3+cx2=0).
    L'équation a une racine réelle double x1=x2=0, les racines x3 et x4 sont les racines de l'équation du second degré ax2+bx+c=0.
  4. b≠0, d≠0, e=0 (ax4+bx3+cx2+dx=0).
    La racine x1 vaut 0, les racines x2, x3 et x4 sont les racines de l'équation du troisième degré ax3+bx2+cx+d=0.
  5. Autre cas. On calcule
    On calcule des quatre racines X1, X2, X3 et X4 de X4+pX3+qX+r=0.
    Les racines de l'équation sont

 

Égyptien Akkadien Polyèdres Éros et Psyché 
Dernière mise à jour, le 29 Janvier 2007